已知正整数m，n都是质数，并且7m n，mn 11也是质数，试求（mn）n （nm）

题目内容：

已知正整数m，n都是质数，并且7m n，mn 11也是质数，试求（mⁿ）ⁿ （n^m）^m的值．

最佳答案：

∵mn 11为质数，且mn 11＞11，

∴mn 11为奇质数，

故mn为偶数，又m，n为质数，所以m，n中至少有一个为2．（5分）

（1）当m=n=2时，mn 11=15不为质数，矛盾．（10分）

（2）当m=2，n≠2时，由n 14，2n 11均为质数可知n=3，

否则，当n=3k 1（k为正整数）时，n 14=3k 15=3（k 5）为合数，矛盾；

当n=3k 2时，2n 11=6k 15=3（2k 5）为合数，矛盾；

故n=3，此时，mn 11=17，7m n=17均为质数，符合题意．（15分）

（3）当n=2时，mn 11=2m 11，7m n=7m 2，它们均为质数，此时必有m=3，

否则令m=3k 1，mn 11=6k 12=6（k 2）为合数，矛盾；

令m=3k 2，7m n=21k 9=3（7k 3）为合数，矛盾；

故m=3．（20分）

所以（m，n）=（2，3），（3，2）．

所以（mⁿ）ⁿ （n^m）^m=593．（25分）

故答案为：593．

答案解析：

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考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。