已知a、b、c均为正整数，且满足a2 b2=c2，又a为质数．证明：（1）b与c两数

题目内容：

  已知a、b、c均为正整数，且满足a² b²=c²，又a为质数．

  证明：

  （1）b与c两数必为一奇一偶；

  （2）2（a b 1）是完全平方数．

最佳答案：

  证明：

  （1）∵a² b²=c²，

  ∴a²=c²-b²=（c b）（c-b），

  因为a是质数，而（c b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c b=a²，得到c=b 1，

  则b，c是两个连续的正整数，

  ∴b与c两数必为一奇一偶；

  （2）将c=b 1代入原式得：

  a² b²=（b 1）²=b² 2b 1

  得到a²=2b 1

  则a² 2a 1=2b 1 2a 1=2（a b 1）

  左边等于（a 1）²是一个完全平方数，

  所以右边2（a b 1）是一个完全平方数，得证．

考点核心：

  有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。