（1）设1，2，3，…，9的任一排列为al，a2，a3…，a9．求证：（all一1）

题目内容：

  （1）设1，2，3，…，9的任一排列为a_l，a₂，a₃…，a₉．求证：（a_ll一1）（a₂-2）…（a₉-9）是一个偶数．

  （2）在数1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³，这些数的前面任意放置“ ”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．

最佳答案：

  （1）用反证法．

  假设（a1-1）（a2-2）…（a9-9）为奇数，则a1-1，a2-2，…，a9-9都为奇数，

  则a₁，a₃，a₅，a₇，a₉为偶数，a₂，a₄，a₆，a₈为奇数，

  而1-9是5个奇数、4个偶数，

  奇偶数矛盾，因此假设不成立．

  （2）∵1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³，与1，2，3，4，5，…2002，2003的奇偶性相同，

  ∴在1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³的任意数前加“ ”或“-”的奇偶性 与在1，2，3，4，5，…2002，2003的任意数前加“ ”或“-”的奇偶性相同，

  ∵两个整数的和与差的奇偶性相同，且1 2 3 4 5 … 2003=2003×（2003 1）÷2=2003×1002是偶数，

  ∴这个代数式的和应为偶数，

  即这个代数式的和必定不等于2003．

考点核心：

  有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。