对于素数p，q，方程x4-px3 q=0有整数解，则p=______q=______

题目内容：

  对于素数p，q，方程x⁴-px³ q=0有整数解，则p=______q=______

最佳答案：

  将方程x⁴-px³ q=0移项，得 x⁴ q=px³．

  可见，x⁴≥0，则x⁴ q＞0，

  所以px³＞0，

  即x＞0，

  本题也就是要求出使方程x⁴-px³ q=0有正整数解的素数p、q；

  且素数p必定是奇素数，否则是偶素数的话，

  那么p=2，

  则方程成为：x⁴ q=2x³，

  即q=2x³-x⁴=x³×（2-x）＞0，

  得出2-x＞0，

  即x＜2，

  则只能是x=1，

  代入方程：

  1、⁴ q=2×1³，

  即1 q=2，解得q=1，不是素数，故p必定是奇素数．

  分两种情形讨论：

  情形一：当x为偶数时，设为x=2n，

  则有（2n）⁴ q=p×（2n）³，

  16n⁴ q=p×8n³，

  上式右端是偶数，则左端的q必须为偶数，

  否则：左端奇偶相加得奇，不符．

  而q作为素数，唯一的偶素数就是2，即q=2，

  则上式成为 16n⁴ 2=p×8n³，

  两边同时除以2，得：8n⁴ 1=p×4n³，

  显然，左端奇偶相加得奇，但右端为偶，矛盾．

  所以方程无偶整数解；

  情形二：当x为奇数时，设为x=2n-1，则有（2n-1）⁴ q=p×（2n-1）³，

  观察上式，右端为奇，则左端也必须为奇，而（2n-1）⁴是奇，所以得出q必须为偶，故素数q=2，

  上式成为：（2n-1）⁴ 2=p×（2n-1）³，

  整理成：p（2n-1）³-（2n-1）^4=（2n-1）³×[p-（2n-1）]=1×2，

  由于（2n-1）³为奇，

  所以必有：（2n-1）³=1，

  解得：n=1；

  则：[p-（2n-1）]=2，

  解得：p=3；

  综上，对于素数p、q，方程x⁴-px³ q=0有整数解，则p、q分别为3和2．

  故答案为：p=3，q=2．

考点核心：

  有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。