k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得的商分别为m，m 116．（1）若a，b互

题目内容：

  k、a、b为正整数，k被a²、b²整除所得的商分别为m，m 116．

  （1）若a，b互质，证明a²-b²与a²、b²都互质；

  （2）当a，b互质时，求k的值．

  （3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．

最佳答案：

  （1）设s为a²-b²与a²的最大公约数，

  则a²-b²=su，a²=sv，u，v是正整数，

  ∴a²-（a²-b²）=b²=s（v-u），可见s是b²的约数，

  ∵a，b互质，

  ∴a²，b²互质，可见s=1．

  即a²-b²与a²互质，同理可证a²-b²与b²互质；

  （2）由题知：ma²=（m 116）b²，

  m（a²-b²）=116b²，

  ∴（a²-b²）|116b²，

  ∵（a²-b²，b²）=（a²，b²）=1，

  ∵（a²-b²）|116，

  所以a²-b²是116的约数，116=2×2×29，

  a²-b²=（a-b）（a b），

  而a-b和a b同奇偶性，且a，b互质，

  ∴a²-b²要么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数，

  ∴（a-b）（a b）=29 或（a-b）（a b）=116，

  ∴a-b=1，a b=29或a-b=1，a b=116或a-b=2，a b=58或a-b=4，a b=29，

  解得只有一组解符合条件，

  a=15，b=14，

  ∴m（15²-14²）=116×14²，

  ∴m=4×142=784，

  ∴k=784×15²=176400；

  （3）设a=5x，b=5y，即x，y的最大公约数为1，

  则m（a²-b²）=116b²，

  ∴即m（25x²-25y²）=116（25y）²，

  ∴m（x²-y²）=116（y）²，

  ∵x，y互质，则有：m=2⁴×7²，

  ∴x=15，y=14，

  a=75，b=70，m=784，

  k=784×75²=4410000．

考点核心：

  有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。