在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为矩形内一点，且AP=32，若AP=λAB

题目内容：

在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为矩形内一点，且AP=32，若AP=λAB μAD（λ，μ∈R），則λ 3μ的最大值为（）

A．32

B．3 34

C．62

D．6 324

最佳答案：

如图所示，在图中，设P（x，y）．

B（1，0），D（0，3），C（1，3）．

由AP=32，得x² y²=34，

则点P满足的约束条件为 0≤x≤10≤y≤3x2 y2=34．

∵AP=λAB μAD即（x，y）=λ（1，0） μ（0，3）

∴x=λ，y=3μ，∴λ 3μ=x y．

由于x y≤2(x2 y2)=2×34=62，

当且仅当x=y时取等号．

則λ 3μ=x y的最大值为62．

故选C．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。