已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC

题目内容：

已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．

（1）若OA=a，OB=b，OC=c，OH=h，试用a、b、c表示h；

（2）证明：AH⊥BC；

（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|．

最佳答案：

（1）由平行四边形法则可得：OH=OC OD=OC OA OB

即h=a b c

（2）∵O是△ABC的外心，

∴|OA|=|OB|=|OC|，

即|a|=|b|=|c|，而AH=OH-OA=h-a=b c，CB=OB-OC=b-c

∴AH•CB=(b c)•(b-c)=|b|-|c|=0，∴AH⊥CB

（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°

∴∠BOC=120°，∠AOC=90°

于是∠AOB=150°|h|²=（a b c)2=a2 b2 c2 2a•b 2b•c 2c•a

=3R2 2|a|•|b|•cos150° 2|a|•|c|•cos90° 2|b|•|c|•cos120°

=（2-3）R²

∴|h|=6-22R

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。