已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB

题目内容：

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB yAC，则x y的最小值是______．

最佳答案：

如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：

则A（0，0），B （2a，0），C（-1a，3a），

∵O为△ABC的外心，

∴O在AB的中垂线 m：x=a上，又在AC的中垂线 n 上，

AC的中点（-12a，32a），AC的斜率为tan120°=-3，

∴中垂线n的方程为 y-32a=33（x 12a）．

把直线 m和n 的方程联立方程组 x=ay-32a=33(x 12a)，

解得△ABC的外心O（a，33a 233a），

由条件 AO=xAB yAC，得（a，33a 233a）

=x（2a，0） y（-1a，3a）=（2ax-ya，3ya），

∴a=2ax-ya3a3 233a=3ya，解得x=23 13a2，y=a23 23，

∴x y=23 13a2 a23 23=43 13（1a2 a2）≥43 13×2=2．

当且仅当a=1时取等号．

故答案为：2．

答案解析：

1a

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。