已知a=（x，0），b=（1，y），（a 3b）⊥（a-3b）（1）点P（x，y）的

题目内容：

已知a=（x，0），b=（1，y），（a 3b）⊥（a-3b）（1）点P（x，y）的轨迹C的方程；

（2）若直线l：y=3x m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，D（0，-1）且|AD|=|BD|，试求m的值．

最佳答案：

（1）由已知a2=3b2（2分）

即x²=3 3y²，所以P的轨迹方程为x23-y2=1（5分）

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）．

y=3x mx23-y2=1，消去y得：26x² 18mx 3m² 3=0

由韦达定理得：x1 x2=-9m13，则x0=-9m13，y0=-m26，（8分）

则AB垂直平分线方程为y m26=-13(x 9m26)，

又点D（-1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得m=132（11分）

（注：也可由DE的斜率为-13，得-m26 1-9m26=-13，解得m=132）

由△＞0，得m²＞26

所以m=132时，直线l：y=3x m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，

所以m=132．（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。