已知：|a|=2，|b|=3，a和b的夹角为45°，求：（1）当向量a λb与λa

题目内容：

已知：|a|=2，|b|=3，a和b的夹角为45°，求：

（1）当向量a λb与λa b的夹角为钝角时，λ的取值范围；

（2）当λ=-2时，向量a λb与λa b的夹角的余弦值．

最佳答案：

（1）∵a λb与λa b的夹角为钝角，知(a λb)•(λa b)＜0且a λb≠t(λa b)，(t＜0)

由(a λb)•(λa b)＜0得3λ² 11λ 3＜0

解得-11-856＜λ＜-11 856；

当a λb=t(λa b)，(t＜0)时，由a与b不共线知1=tλλ=t，解得λ=t=-1（1舍去）

所以λ的取值范围是-11-856＜λ＜-1或-1＜λ＜-11 856；

（2）当λ=-2时|a λb|=|a-2b|=(a-2b)2=a2 4b2-4a•b=26

|λa b|=|-2a b|=(-2a b)2=4a2 b2-2ab=5

（a λb）•（λa b）=（a-2b）•（-2a b）=-2a²-2b² 5ab=-7

所以cosθ=-7265=-7130130

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。