已知圆C的方程（x-2）2 （y-3）2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆C相切

题目内容：

已知圆C的方程（x-2）² （y-3）²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆C相切．

（1）求直线l₁的方程；

（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l₂与圆C有两个不同的交点M、N．且OM•ON=12，求k的值．

最佳答案：

（1）设直线l₁的方程为y=m（x-3），即mx-y-3m．=0…（1分）

圆心C到直线l₁的距离d=|2m-3-3m|1 k2=1，解得m=-43，…（2分）

所以直线l₁的方程为4x 3y-12=0；

当直线斜率不存在时，直线x=3也与圆C相切，

所以直线l₁的方程为4x 3y-12=0或x=3．…（5分）

（2）设l₂的方程为y=k（x-1），

将直线l₂的方程与圆C的方程消去y，得：（1 k²）x²-4（1 k）x 7=0，

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则由根与系数的关系可得：

x₁ x₂=4(1 k)1 k2，x₁x₂=71 k2，

从而y₁y₂=（kx₁ 1）•（kx₂ 1）=k²x₁x₂ k（x₁ x₂） 1，

因此，OM•ON=x₁x₂ y₁y₂=（1 k²）x₁x₂ k（x₁ x₂） 1

=（1 k²）•71 k2 k•4(1 k)1 k2 1=4k(1 k)1 k2 8，

∴OM•ON=4k(1 k)1 k2 8=12，整理得k（1 k）=1 k²，解之得k=1．

经检验，可得此时△＞0，所以k=1符合题意．…（14分）

答案解析：

|2m-3-3m|

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。