已知向量a=(cosα，sinα)，b=(2cosβ，2sinβ)，c=(sinα

题目内容：

已知向量a=(cosα，sinα)，b=(2cosβ，2sinβ)，c=(sinα 2sinβ，cosα 2cosβ)（0＜α＜β＜π），a与b的夹角为π3，

（1）求β-α的值；

（2）若a⊥c，求tan2α的值．

最佳答案：

（1）由a与b的夹角为π3，得cos＜a，b＞=a•b|a|•|b|=12，

即12=2cosαcosβ 2sinαsinβ1×2…（2分）∴cos(α-β)=12…（4分）

又0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=π3．…（6分）

（2）由a⊥c，得a•c=0，∴cosα（sinα 2sinβ） sinα（cosα 2cosβ）=0…（8分）

即sin2α 2sin（α β）=0，∵β=π3 α，∴sin2α 2sin(π3 2α)=0，

∴2sin2α 3cos2α=0，…（12分）

∴tan2α=-32．…（14分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。