已知椭圆E：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为

题目内容：

已知椭圆E：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且F1P•F2P=-6．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，圆C是以MN为直径的圆，其面积为S，求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．

最佳答案：

（1）设点F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），

则F1P=(3 c，1)，F2P=(3-c，1)，

故F1P•F2P=(3 c)(3-c) 1=10-c2=-6，可得c=4，

所以2a=|PF1| |PF2|=(3 4)2 12 (3-4)2 12=62，

故a=32，b2=a2-c2=18-16=2，

所以椭圆E的方程为x218 y22=1．

（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），

则F1M=(9，m)，F2N=(1，n)，又F1M⊥F2N，

可得F1M•F2N=9 mn=0，即mn=-9，

又|MN|=|m-n|=|m| |n|≥2|m|•|n|=29=6，（当且仅当|m|=|n|时取等号）

故Smin=π(62)2=9π，且当S取最小值时，

有m=3，n=-3或m=-3，n=3，

此时圆C的方程为（x-5）² y²=9．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。