已知椭圆C：x2a2 y2b2=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦

题目内容：

已知椭圆C：x2a2 y2b2=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且AQ=λQB，AE=μE

B．求证：λ μ为定值，并计算出该定值．

最佳答案：

（Ⅰ）由条件得2b2a=12b=a⇒a=2b=1，所以方程为x24 y2=1

（Ⅱ）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x 1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）

由y=k(x 1)x24 y2=1⇒(1 4k2)x2 8k2x 4k2-4=0

△=48k² 16＞0

x1 x2=-8k21 4k2，x1x2=4k2-41 4k2

由AQ=λQB⇒(-1-x1，-y1)=λ(x2 1，y2)即-(x1 1)=λ(x2 1)(1)y1=-λy2

AE=μEB⇒(-4-x1，y0-y1)=μ(x2 4，y2-y0)即-(x1 4)=μ(x2 4)(2)y0-y1=μ(y2-y0)

由（1）λ=x1 1x2 1，由（2）μ=x1 4x2 4

∴λ μ=-(x1 1)(x2 4) (x1 4)(x2 1)(x2 1)(x2 4)=-2x1x2 5(x1 x2) 8(x2 1)(x2 4)

将x1 x2=-8k21 4k2，x1x2=4k2-41 4k2代入有∴λ μ=-8k2-81 4k2-40k21 4k2 8(x2 1)(x2 4)=-8k2-8-40k2 8 32k21 4k2(x2 1)(x2 4)=0

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。