在△ABC中（Ⅰ）若点M在边BC上，且BM=tMC，求证：AM=11 tAB t1

题目内容：

在△ABC中

（Ⅰ）若点M在边BC上，且BM=tMC，求证：AM=11 tAB t1 tAC；

（Ⅱ）若点P是△ABC内一点，连接BP、CP并延长交AC、AB于D、E两点，使得AD：AC=AE：EB=1：2，若满足AP=xAB yAC(x，y∈R)，求x，y的值．

最佳答案：

（Ⅰ）证明：∵BM=tMC，∴AM-AB=t(AC-AM)

∴（1 t）AM=AB tAC，

∴AM=11 tAB t1 tAC；

（Ⅱ）设BP=λ1BD，CP=λ2CE，则

∵AP=AB BP=AB λ1BD=（1-λ₁）AB λ12AC，AP=AC CP=AC λ2CE=λ23AB (1-λ2)AC

∴1-λ1=λ23λ12=1-λ2，解得λ1=45，λ2=35，

∴x=1-λ1=15，y=λ12=25

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。