已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N且点A（1，f

题目内容：

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N且点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））；若△ABC的内切圆圆心为D，且.DA .DC=λ.DB(λ∈R)，则下列结论正确的有______．（填上你认为正确的命题的序号）

①△ABC必是等腰三角形；

②△ABC必是直角三角形；

③满足条件的实数λ有3个；

④满足条件的函数有l2个．

最佳答案：

在AC上取中点E，则可得DA DC=2DE且DE平分AC

由DA DC=λDB(λ∈R)，

∴B，D，E三点共线

∵BD是∠ABC的平分线

∴BE垂直平分AC，DA=DC

∴△ABC是等腰三角形，且BA=BC，故①正确②不正确

必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；

①当f（1）=f（3）=1时，f（2）=2、3、4，三种情况．

②f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．

③f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．

④f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．

因而满足条件的函数f（x）有12种．故④正确

由以上情况的讨论可知，A，B，C的坐标情况如下

A（1，1），B（2，2），C（3，1），AB=2，AC=2；A（1，1），B（2，3），C（3，1），AB=5，AC=2；A（1，1），B（2，4），C（3，1），AB=10，AC=2；A（1，2），B（2，1），C（3，2），AB=2，AC=2；A （1，2），B（2，3），C（3，2），

AB=2，AC=2；A（1，2），B（2，4），C（3，2），AB=10，AC=2；A（1，3），B（2，2），C（3，3），AB=2，AC=2；

A（1，3），B（2，1），C（3，3），AB=5，AC=2；A（1，3），B（2，4），C（3，3），AB=2，AC=2；A（1，4），B（2，2），C（3，4），AB=5，AC=2；A（1，4），B（2，3），C（3，4），AB=2，AC=2；A（1，4），B（2，1），C（3，4），AB=10，AC=2

∵BE垂直平分AC，DA=DC

∴DA DC=2DE

由角平分线性质可得，|BD||DE|=|AB||AE|=2|AB||AC|，根据以上情况可求得λ有3个情况，故③正确

故答案为：

①③④

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。