已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，过右焦点F且斜率为1

题目内容：

已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．

（1）求直线ON的斜率k_ON；

（2）对于椭圆C上的任意一点M，设OM=λOA μOB（λ∈R，μ∈R），求证：λ² μ²=1．

最佳答案：

（1）设椭圆的焦距为2c，

因为ca=63，所以有a2-b2a2=23，故有a²=3b²．

从而椭圆C的方程可化为x² 3y²=3b²①

∴右焦点F的坐标为（2b，0），

据题意有AB所在的直线方程为：y=x-2b．②

由①，②有：4x2-62bx 3b2=0．③

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），由③及韦达定理有：x0=324b，y0=x0-2b=-24b

所以kON=y0x0=-13，即为所求．…（6分）

（2）证明：显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM=λOA μOB成立．

设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x₁，y₁） μ（x₂，y₂），

故x=λx₁ μx₂，y=λy₁ μy₂．…（8分）

又因为点M在椭圆C上，所以有(λx1 μx2)2 3(λy1 μy2)2=3b2

整理可得：λ2(x12 3y12) μ2(x22 3y22) 2λμ（x₁x₂ 3y₁y₂）=3b²．④

由③有：x1 x2=322b，x1x2=34b2．

所以x₁x₂ 3y₁y₂=3b²-9b² 6b²=0⑤

又点A，B在椭圆C上，故有x12 3y12=x22 3y22=3b²．⑥

将⑤，⑥代入④可得：λ² μ²=1．…（13分）

答案解析：

ca

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。