已知a=(sinx，x)，b=(1，-cosx)，f(x)=a•b且x∈（0，2π）

题目内容：

已知a=(sinx，x)，b=(1，-cosx)，f(x)=a•b且x∈（0，2π），记f（x）在（0，2π）内零点为x₀．

（1）求当f（x）取得极大值时，a与b的夹角θ．

（2）求f（x）＞0的解集．

（3）求当函数f′(x)x2取得最小值时f（x）的值，并指出向量a与b的位置关系．

最佳答案：

（本题满分14分）

（1）∵a=(sinx，x)，b=(1，-cosx)，f(x)=a•b且x∈（0，2π），

∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），

∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，

由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，

∴x∈（0，π），f'（x）＞0，则f（x）单调递增；

当x∈（π，2π），f'（x）＜0，则f（x）单调递减．

∴x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．…（4分）

此时a=（sinπ，π）=（0，π），b=（1，-cosπ）=（1，1）

∴cosθ=a•b|a||b|=0 ππ•2=22，

∵0≤θ≤π，∴θ=π4．…（6分）

（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．

且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．

∴x∈（0，π）时，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，

得x₀∈（π，2π），

∴x∈（0，x₀）时，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集为（0，x₀）．…（9分）

（3）令h(x)=f′(x)x2=xsinxx2=sinxx，

∵h′(x)=xcosx-sinxx2=-f(x)x2，

∴h′（x）=0，得x=x₀，

∴x∈（0，x₀），f（x）＞0，得h′（x）＜0，则h（x）单调递减，

当x∈（x₀，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，则h（x）单调递增，

∴x=x₀是h（x）在（0，2π）内的极小值，且h（x₀）为唯一极值，即为最小值，

此时f（x）=f（x₀）=0，即a•b=0，

∴a⊥b．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。