已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1 OP2 OP3=0，|OP1|=|OP2|

题目内容：

已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1 OP2 OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1．

求证：△P₁P₂P₃是正三角形．

最佳答案：

证明：

法一：∵OP1 OP2 OP3=0，∴OP1 OP2=-OP3．∴|OP1 OP2|=|-OP3|．

∴|OP1|² |OP2|² 2OP1•OP2=|OP3|²．

又∵|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，

∴OP1•OP2=-12．

∴|OP1||OP2|cos∠P₁OP₂=-12，

即∠P₁OP₂=120°．

同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°．

∴△P₁P₂P₃为等边三角形．

法二：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），

则OP1=（x₁，y₁），OP2=（x₂，y₂），OP3=（x₃，y₃）．

由OP1 OP2 OP3=0，

得x1 x2 x3=0y1 y2 y3=0.∴x1 x2=-x3y1 y2=-y3.，

由|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，得x₁² y₁²=x₂² y₂²=x₃² y₃²=1

∴2 2（x₁x₂ y₁y₂）=1

∴|P1P2|=(x1-x2)2 (y1-y2)2

=x12 x22 y12 y22-2x1x2-2y1y2

=2(1-x1x2-y1y2)=3

同理|P1P3|=3，|P2P3|=3

∴△P₁P₂P₃为正三角形

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。