在平面直角坐标系xOy中，OA=(4，0)，OB=(1，3)，点C满足∠OCB=π4

题目内容：

在平面直角坐标系xOy中，OA=(4，0)，OB=(1，3)，点C满足∠OCB=π4．

（Ⅰ）求OB•BA；

（Ⅱ）证明：|OC|=22sin∠OBC；

（Ⅲ）是否存在实数λ，使得BC=λBA成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

最佳答案：

（Ⅰ）∵OA=(4，0)，OB=(1，3)，∴BA=OA-OB=（3，-3）

∴OB•BA=3-3=0；

（Ⅱ）证明：∵12|OC|•|CB|sin∠OCB=12|OB|•|CB|sin∠OBC，

∴|OC|×22=2sin∠OBC

∴|OC|=22sin∠OBC；

（Ⅲ）假设存在实数λ，使得BC=λBA成立，则OC=(3λ 1，3-3λ），BC=(3λ，-3λ)

∴cosπ4=OC•BC|OC||BC|=12λ212λ2 4×12λ2=22

∴λ=±33．

即存在实数λ=±33，使得BC=λBA成立

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。