已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两

题目内容：

已知O为△ABC所在平面外一点，且OA=a，OB=b，OC=c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示OH．

最佳答案：

由OA⊥OBOA⊥OC⇒OA⊥平面OBC⇒OA⊥BC，连AH并延长并BC于M．

则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC、

于是BC⊥平面OAH⇒OH⊥BC、

同理可证：OH⊥ACAC∩BC=C⇒OH⊥平面ABC、

又OA，OB，OC是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁，k₂，k₃使得OH=k1a k2b k3c、

由OH•BC=0且a•b=a•c=0⇒k_2b2=k_3c2，同理k_1a2=k_2b2．

∴k_1a2=k_2b2=k_3c2=m≠0． ①

又AH⊥OH，

∴AH•OH=0⇒(k1-1)a k2b k3c•(k1a k2b k3c)=0⇒k₁（k₁-1）a2 k22b2 k32c2=0②

联立①及②，得m(k1-1) mk2 mk3=0，m≠0⇒k1 k2 k3=1③

又由①，得k1=ma2，k2=mb2，k3=mc2，代入③得：m=a2•b2•c2a2•b2 b2•c2 c2•a2⇒k1=b2•c2△，k2=c2•a2△，k3=a2•b2△，

其中△=a2•b2 b2•c2 c2•a2，于是OH=1△（b2•c2•a c2•a2•b a2•b2•c）

答案解析：

OA⊥OBOA⊥OC

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。