(本小题满分14分)已知在单位圆x² y²=1上任取一点M，作M

题目内容：

(本小题满分14分)已知在单位圆x² y²=1上任取一点M，作MN⊥x轴，垂足为N，

= 2 ．

(Ⅰ)求动点Q的轨迹

的方程；

(Ⅱ)设点

，点 为曲线 上任一点，求点 到点 距离的最大值 ；

(Ⅲ)在

的条件下，设△ 的面积为 ( 是坐标原点， 是曲线 上横坐标为 的点)，以 为边长的正方形的面积为 ．若正数 满足 ，问 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

最佳答案：

(1)

(2)

时, ； 时, ； 时，, ．所以，

(3)

答案解析：

解：(Ⅰ)设点Q的坐标为（x，y），M（x₀，y₀），则N（x₀，0）

∴

∵

=

∴

∵

∴

∵点M（x₀，y₀）在单位圆x² y² = 1上

∴

所以动点Q的轨迹C的方程为

.........................4分

(Ⅱ)设

，则 ，令 ， ，所以，

当

，即 时 在 上是减函数， ；

当

，即 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，则 ；

当

，即 时， 在 上是增函数， ．

所以，

． 9分

(Ⅲ)当

时， ，于是 ， ，

若正数

满足条件，则 ，即 ， ，令 ，设 ，则 ， ，于是 ，

所以，当

，即 时， ，

即

， ．所以， 存在最小值 ． 14分

点评：解决的关键是利用向量法坐标法得到轨迹方程，同时能利用点到直线的距离得到最值，属于基础题。

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。