已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.（1）求线

题目内容：

已知点

，曲线 上的动点 满足 ,定点 ，由曲线 外一点 向曲线 引切线 ，切点为 ，且满足 .

（1）求线段

长的最小值；

（2）若以

为圆心所作的圆 与曲线 有公共点，试求半径取最小值时圆 的标准方程.

最佳答案：

（1）

；

（2）

.

答案解析：

本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用向量的点乘求出点

的轨迹方程，数形结合找出 ，所以 ，然后配方法求最值；第二问，利用两圆的位置关系列出不等式，用配方法求最值，得到圆心和半径，写出圆的标准方程.

试题解析：（Ⅰ）设

，则 ，

∴

，

即

点轨迹(曲线 )方程为 ，即曲线 是 ． 2分

连

∵ 为切点， ，由勾股定理有： ．

又由已知

，故 ．

即：

，

化简得实数

间满足的等量关系为： ，即 ．（4分）

∴

＝ ，

故当

时， 即线段 长的最小值为 7分

（另法）由点

在直线 ： 上．

∴

，即求点 到直线 的距离．

∴

（7分）

（Ⅱ）设

的半径为 ，∵ 与 有公共点， 的半径为1， 即 且 ． 8分

而

， 9分

故当

时， ． 10分

此时

, ． 11分

得半径取最小值时

的标准方程为 ． 13分

（另法）

与 有公共点， 半径最小时为与 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心 到直线 的距离减去1，圆心 为过原点与 垂直的直线 与 的交点 ． ．

又

，（10分）

解方程组

，得 ．即 ，

∴所求

标准方程为 ．（13分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。