已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量与向量的夹角的余弦值为（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ

题目内容：

已知

的三内角 、 、 所对的边分别是 ， ， ，向量 与向量 的夹角 的余弦值为

（Ⅰ）求角

的大小；

（Ⅱ）若

，求 的范围。

最佳答案：

（Ⅰ）

；（Ⅱ） ．

答案解析：

（Ⅰ）向量

与向量 的夹角 的余弦值为 ，求角 的大小，由夹角公式，只需分别求出 ， ， ，代入公式 ，使 ，而 ，即 ，从而求出角 的大小；（Ⅱ）若 ，求 的范围，这是已知 ， ，来求 的范围，可考虑利用余弦定理来构造 ，由余弦定理，得 ，可考虑将 转化为 ，因此利用基本不等式进行转化 ，可得 ，又有三角形两边之和大于第三边得 ，从而求出 的范围．

试题解析：（Ⅰ）

， ， ，又 ， ， ， ， 3分

而

， ， ， 6分

（Ⅱ）由余弦定理，得

当且仅当 时，取等号， 10分

又

12分

（其他解法请参照给分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。