已知向量a="(1,2),b=(cos" α,sin α),设m=a tb(t为实数

题目内容：

已知向量a="(1,2),b=(cos" α,sin α),设m=a tb(t为实数).

(1)若α=

,求当|m|取最小值时实数t的值;

(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m夹角的余弦值为

,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.

最佳答案：

(1)

(2) 存在t=1或t=-7满足条件

答案解析：

解：

（1）因为α=

,

所以b=

,a·b= ,

则|m|=

=

=

=

,

所以当t=-

时,|m|取到最小值,最小值为 .

(2)存在实数t满足条件,理由如下:

由条件得

= ,

又因为|a-b|=

= ,

|a tb|=

= ,

(a-b)·(a tb)=5-t,

所以

=,且t<5,

整理得t² 6t-7=0,

所以存在t=1或t=-7满足条件.

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。